DEVOCEAN

안녕하세요, ML/DL 꿈나무 가리봉봉입니다.

머신러닝 공부를 밑바닥부터 제대로 해보려고 선형대수를 공부하고 있습니다.

미국 모 대학에서 수학과 박사 과정을 밟고 계신 분이 리드하고 있는 온라인 스터디에 참여하고 있고요.

이번 주 스터디 모임 끝나고 어제 혼자 끄적이며 복습한 내용을 글로 좀 다듬어봤습니다.

커뮤니티 일상/취미에 올려야 하나 싶었지만 그래도 기술적인 인사이트가 있는 것 같아 Tech Blog 메뉴로 들어와서 글쓰기 버튼을 눌렀습니다.

구글에서 '선형대수'를 검색해 보면 나무위키에 아래와 같은 정의가 나옵니다.

선형대수학(線型代數學, linear algebra)은 덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형 변환에 관한 대수학이다.

예전에 게임을 개발할 때는 벡터란 3D 공간 상에서 크기와 방향을 둘 다 갖는 무언가라고만 알고, 직접 연산을 할 일은 많지 않아서 더 깊게 파보진 않았는데요.

선행대수에서 벡터는 위 정의와 같이 그냥 벡터공간의 원소입니다. 저희 스터디에서는 일명 LADR이라 불리는 'Linear Algebra Done Right'를 교재로 정해서 공부 중인데요,

위의 정의와 같은 기본과 그 증명에 무척 충실한 교재입니다.

총 9개 챕터 중 지금은 챕터 3 "Linear Maps'를 같이 보고 있습니다.

그 중에서도 이번주에는 좌표 벡터의 정의와 그 유용성에 대해 배웠습니다.

Linear Algebra Done Right (Undergraduate Texts in Mathematics)

좌표벡터의 정의에 대해 먼저 알아보겠습니다.

일단 유한차원 벡터 공간 V, 그리고 아래와 같은 기저가 필요합니다.

(에디터 상에서 마크다운이나 LaTeX로 수식을 써보려고 했는데 잘 안 되네요, 그냥 아이패드에 펜으로 쓴 것을 캡처해서 올립니다)

표기가 좀 어색해 보일 수도 있는데요.

저희 교재와 스터디에서는 벡터를 나타내는 notation을 위에 화살표를 붙이는 것이 아닌 언더바(_)를 쓰는 것으로 정했습니다.

이 부분 참고 부탁드리고요. 기저가 정해지면 벡터 공간 V의 원소인 임의의 벡터 v에 대해서 아래와 같은 선형결합이 고유하게(unique) 정의됩니다.

이제 아래와 같이 좌표 벡터를 정의할 수 있습니다.

즉, 앞의 선형결합에서 계수만 빼내서 모아 놓은 것이 바로 좌표벡터입니다.

좌표벡터의 notation은 말하고자 하는 대상 벡터를 쓴 뒤 대괄호로 묶고, 그 옆에 (좌표는 기저에 따라 변하기 때문에) 어떤 기저를 사용했는지 써줍니다.

여기서는 B가 되겠죠.

이렇게 정의된 좌표벡터는 여러 가지로 유용한데요.

일단 어떤 복잡한 형태의 벡터공간(예를 들어 원소가 다항식인 다항공간)에서도 좌표벡터는 실수 형태로 표현되기 때문에 계산 측면에서 용이합니다.

다음으로 좌표벡터는 주어진 기저벡터 상에서 유일합니다. 즉, 어떤 값이 유일하다는 건 어떤 표현에 대해서 유일하게 사용할 수 있다는 의미입니다.

이 말을 달리 해석하면 필요에 따라 어떤 기저를 선택하느냐에 따라 원하는 좌표벡터를 선택할 수도 있다는 것입니다.

아직은 실용적인 유용성은 잘 와닿지 않는데요. PCA 같은 차원 축소 기법의 근간이라는 느낌적인 느낌이 듭니다.

마지막으로 좌표벡터는 벡터 공간의 구조를 그대로 보존합니다.

좌표 벡터만 있으면 역으로 원본 벡터 v를 복원하는 것이 가능하다는 것이죠.

이것이 가능한 이유는 바로 좌표벡터의 정의에 그 답이 있습니다.

위에서 좌표 벡터는 선형 결합에서 계수만 빼내서 모은 것이라고 했습니다.

역으로 선형 결합 형태로 돌려 놓기만 하면 원본 벡터로 복원이 되는 거죠.

이 외에도 좌표벡터의 유용성 관련된 내용이 조금 더 있는데 에디터 상에서 수학 수식 쓰는 방법을 알아내는 데에 힘을 다 빼서(결국 실패했지만..) 피곤하네요.

오늘은 여기서 마무리하겠습니다.